例題１０　円板の非定常熱伝導解析（温度拘束問題）
出典：矢川元基：「有限要素法の基礎と応用シリーズ8　流れと熱伝導の有限要素法入門」，培風館，p.120-121
軸対称／非定常／線形／問題
節点数：306　要素数：500 （三角形環状１次要素）　時間増分値 5.0 [sec]／完全陰解法
境界条件：
連続境界条件＝断熱境界条件：領域上端（ z = 0.05 ）下端（ z = 0.00 ）
温度拘束条件：右端（ r =1.00 ）：温度 0 [℃]

物性値：熱伝導率：47.985 [ W / m℃ ]　比熱：479.83 [ J / kg℃ ]，密度：7860.0 [ kg/m3 ]

寸法：Lr = 1.00 [m]　Lz = 0.05 [mm]
解析モデル　（ 軸対称モデル ）

図 1 に示すような，初期温度が 500 [℃] 一様である円板の断面を考えます。
この断面は左端が対称軸であり，右端が時刻 0.0 [sec] より 0.0 [℃] に拘束されます。
この条件のもとで非定常解析を行い円板の温度を計算します。
温度変化は数百度の範囲になるので，現実の物質では物性値の温度依存性が現われてきますが，ここでは物性値の温度依存性は考慮しません。
計算は，時刻 0.0 [sec] から 7200.0 [sec] （ 2.0 [h] ）まで完全陰解法により計算し，理論解と比較します。

図 1 解析モデル
計算結果　温度分布

図 2-1 温度分布アニメーション　10コマ　

　

図 2-2 LS-DYNA による計算結果

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温度分布グラフ

本例題は，r 方向にのみ温度分布が変化する 1 次元問題です。
本例題の理論解は次の式で与えられます。

■円板温度

ここで，各変数及びパラメータは次のようであります。

T0

［℃］

 初期温度
r
[m]
 半径方向の座標
R
[m]
 円板の半径
Sn 　 0次のベッセル関数　 　 の解
　 1次のベッセル関数値
　 　
λ
[W/m℃]
 円板の熱伝導率
ρ
[ kg / m3 ]
 円板の質量密度
c
[ J / kg℃ ]
 円板の比熱
t
[sec]
 時間
　 　
　 0次のベッセル関数値
　

図 3　r [m] における温度分布

数値データ
表1に理論解に使用した数値データを示します。

表 1 理論解の数値データ