固体の３次元熱伝導解析
静止している固体について，熱伝導率の直交異方性を考慮した3次元非定常熱伝導問題の支配方程式は次の式で与えられます。

式(1)

T
 温度 (Temperature) [ ℃ ]
λ
 熱伝導率(Thermal conductivity) [ W ／ m ℃ ]
Q
 内部発熱率 [ W ／ m3 ]
ρ
 密度 (density) [ kg ／ m3 ]
c
 比熱 (specific heat) [ J ／ kg ℃ ]
t
 時刻 (time) [ s ]

　
(1.1)
一般的に固体の場合は，熱伝導率や比熱について温度依存性があり，これは非線形性を示します。
したがって支配方程式は非線形方程式となります。
しかしながらこれらの温度依存性は数十度の範囲では小さいことが多く，ここでは簡単のため無視します。
熱伝導問題の境界条件は，熱流速を q [ W / m2 ]，境界上での外向きの法線ベクトルを n とするとフーリエの法則より次の式で与えられます。
式(2)
(1.2)
熱伝導問題の支配方程式と境界条件が与えられたので，支配方程式をガラーキン法によって離散化します。
ここで，重み関数は｛N｝とします。
(1.3)

上式について，次のように 3 つの項に分けて考えていきます。
(1.4)
(1.5)
(1.6)
ここで式（1.4）は 2 階微分項を含むので，次の部分積分公式を適用して 1 階微分形式へと弱形式化します。
(1.7)
式（1.7）を式（1.4）に適用すると，次式を得ます．

(1.8)
要素内での任意点での温度 T は，内挿関数 {N} と節点温度 {T}e を用いて次のように近似されます。
(1.9)
式（1.9）を式（1.10）に代入して離散化します。
ここで，節点温度は空間の関数ではないので，積分の外へ出されることに注意して下さい。

　
(1.10)
式（1.10）の右辺第 1 項は，式（1.2）を適用すると次式のように変形できます。
(1.11)
以上より，支配方程式にガラーキン法を適用することで次の離散化方程式が得られます。

(1.12)
式（1.12）の両辺に−1をかけると
(1.13)

となります。
次に離散化式に境界条件の影響を評価する項を導入します。
一般に熱伝導問題の境界条件に関しては，温度固定条件，熱流速条件，熱伝達条件，熱輻射の4つの条件を考慮します。

温度固定境界条件は，有限要素法ではDirichlet境界条件（固定境界条件）に相当するものです。
境界 s1 上において
　on s1
(1.14)

ここで Tfix は固定温度です。
熱流速境界条件とは，境界 s2 上で熱流速 q0 [ W / m ℃ ] が流出入するという境界条件であり，次のように与えられます。

　on s2
(1.15)
したがって，式（1.13）の境界積分項は次のように変換されます。
(1.16)
熱伝達境界条件とは，
「境界 s3 上で固体表面と周囲を流れる流体との間で熱伝達が行われるという条件」で，
熱伝達率を α [ W / m2 ℃ ] ，周囲流体温度を Tfluid [℃] とすると次のように与えられます。 		　
　on s3
(1.17)
式（1.17）を式（1.13）の境界積分項（左辺第１項）に代入すると，この項は次式のように表されます。 　
(1.18)
熱輻射境界条件とは，
「固体の境界 s4 上で周囲環境に対して熱輻射が行われる」という境界条件で，
熱輻射率を h [ W / m2 K] ，周囲環境温度を Tout [K] として次のように与えられます。
　on s4
(1.19)
式（1.18）を式（1.13）の境界積分項（左辺第１項）に代入すると，この項は次式のように表されます。 　
(1.20)
以上より，境界条件を含めた熱伝導問題の離散化式は次のようになります。
(1.21)
ここで，
(1.22)
(1.23)
(1.24)

です。
[K] は熱伝導マトリックス
[C] は熱容量マトリックス
{F} は熱流速ベクトルです。
以上で有限要素式が得られました。
有限要素式の具体的な成分は要素によって内挿関数 {N} が異なるので，使用する要素に応じて定式化を行なう必要があります。
ここでは，六面体一次要素の場合について定式化を進めていきます。

参考文献　矢川元基　流れと熱伝導の有限要素法入門　培風館　1994年第11刷